Метод итерации с оптимальным параметром

Разностные схемы для уравнений эллиптического типа.

Постановка задачки разглядим задачку Дирихле для эллиптического уравнения:

– Прямоугольник, а

–Довольно гладкие функций,

–где -постоянные,

Построение сетки, равномерной по каждому из направлений

Разобьем отрезок [0, ] на N равных частей. Обозначим = /N, = , 0 ≤i ≤ N.

Разобьем отрезок [0, ] на M равных частей. Обозначим. = /N, = , 0 ≤i ≤ M.

Построим сетку узлов:

Узлы ( , ), 1 ≤ i ≤ N Метод итерации с оптимальным параметром - 1; 1 ≤ j ≤ M – 1 - внутренние, другие, лежащие на границе прямоугольника, — граничные. Внутренний узел ( , будем именовать приграничным,

если хотя бы один из узлов ( , ), ( , ), ( ), ( ) является граничным.

Приграничные узлы отмечены на рисунке кружочками.

Разностная аппроксимация задачки Дирихле Обозначим ≈( , Заменяем оператор L во всех внутренних узлах разностным оператором

1 ≤ i ≤ N − 1; 1 ≤ j ≤ M − 1.

Тут применены обозначения:

Если Метод итерации с оптимальным параметром u(x, y) имеет более 4 непрерывных ограниченных в рассматриваемой

области производных по x и по y, а p(x, y) и q(x, y) — более 3-х, то разностный оператор

аппроксимирует дифференциальный L со вторым порядком, т. е.

Задачке (1.1)-(1.2) ставим в соответствие разностную задачку: отыскать сеточную функцию,

удовлетворяющуювовнутреннихузлахуравнениям

и принимающую Метод итерации с оптимальным параметром в граничных узлах данные значения

При достаточной гладкости функций u(x, y), p(x, y), q(x, y) разностная схема (3.2)-(3.3)

имеет 2-ой порядок точности. Для исследования разностного оператора этой задачки

следует в приграничных уравнениях исключить неведомые , , 1 ≤j ≤M − 1 и

, 1 ≤ i ≤ N − 1. Итак, решение задачки (1.1)-(1.2) свелось к решению линейной системы порядка (N − 1) · (M − 1). Линейную Метод итерации с оптимальным параметром систему запишем в виде

где U = ( , . . . , , . . . , , . . . , , а вектор F отличается от вектора f в (3.2) только в приграничных узлах. Отметим последующие особенности матрицы системы A:

• собственныечисламатрицынаходятсявдиапазоне [δ, ∆], где

Заметим, что при p(x, y) ≡ 1, q(x, y) ≡ 1, = = 1, = = h (такую задачку в предстоящем будем именовать простейшей)

• положительную определенность;

• нехорошую обусловленность, т. е. отношение Метод итерации с оптимальным параметром наибольшего собственного числа матрицы к наименьшему очень велико и является величиной O(1/ );

• большой порядок;

• огромное количество нулевых частей;

• специфическую ленточную структуру — блочный трехдиагональный вид

где матрица C является трехдиагональной, I — диагональной, O имеет только нулевые элементы. Пусть p(x, y) ≡ 1, q(x, y) ≡ 1, = = h, тогда

Для решения системы могут быть применены, к примеру Метод итерации с оптимальным параметром, последующие способы:

1. Способ обычный итерации.

2. Способ итерации с хорошим параметром.

3. Способ Зейделя.

4. Способ верхней релаксации.

5. Итерационный способ с хорошим чебышевским набором характеристик.

6. Попеременно треугольный итерационный способ.

7. Итерационный способ переменных направлений.

8. Способ покомпонентного расщепления на базе схемы Кранка-Никольсона.

9. Способ расщепления предиктор-корректор.

10. Способ переменных направлений Дугласа-Рэкфорда.

Способ Метод итерации с оптимальным параметром обычный итерации

Систему AU = F сводим к системе вида U = HU + g так, чтоб ρ(H) < 1, где ρ(H) — наибольшее по модулю собственное число матрицы H (спектральный радиус матрицы). Пусть H = E − A, g = F, где D — диагональная часть матрицы A. В простом случае (коэффициенты уравнения неизменные, сетка квадратная) система воспримет Метод итерации с оптимальным параметром последующий вид:

Расчетная формула способа итерации = + g либо в простом случае поком- понентно имеет последующий вид:

Расчетная формула способа обычной итерации в общем случае:

где 1 ≤ i ≤ N − 1; 1 ≤ j ≤ M − 1. Нужное и достаточное условие сходимости способа ρ(H) < 1 выполнено. Это просто показать в простом случае, т. е. при

Обратим внимание, что в простом случае = . Скорость Метод итерации с оптимальным параметром сходимости способа находится в зависимости от того, как ρ(H) меньше единицы, потому что

Тут — четкое решение задачки (1.1)-(1.2). Ввиду того, что ρ(H) = 1 − O( ), при уменьшении шага сетки h сходимость замедляется, и близость 2-ух примыкающих приближений (черта 5.6 в п.6), нередко неверно воспринимаемая за признак неплохой точности, гласит только о неспешной сходимости способа Метод итерации с оптимальным параметром. Понятно, что

В общем случае в способе с хорошим параметром ρ(H) = либо в обозначении

ξ = ρ(H)= .

Способ итерации с хорошим параметром

Как понятно, обозначенному условию сходимости (ρ(H) < 1) будет удовлетворять система вида U = U +τ (F −AU), где τ = 2/(∆+δ), т. е. при H = E −τA, g = τF, τ — лучший параметр. Для простого варианта τ = /4 и система будет иметь Метод итерации с оптимальным параметром последующий вид:

В простом случае способ итерации с хорошим параметром совпадает с способом обычный итерации. В общем случае расчетная формула способа итерации с хорошим параметромимеет вид:


metod-ili-teoriya-dvuh-reakcij-sinhronnoj-mashini.html
metod-intensivnogo-perevospitaniya-po-vensanu.html
metod-inversii-v-m-kolpakov-teoriya-i-praktika.html